Funciones: Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

1.-Función Inyectiva.- En matemáticas, una función  es inyectiva si elementos distintos del conjunto  (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto  (codominio) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una pre-imagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, dada por ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como ${\displaystyle f(2)}$ y ${\displaystyle f(-2)}$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}$ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Ejemplo de Función Inyectiva

2.-Función Sobreyectiva.- En matemática, una función  es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de  es la imagen de como mínimo un elemento de .

Formalmente,

${\displaystyle \forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y}$

Ejemplo de Función Sobreyectiva

3.-Función Biyectiva.- En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&X&\to &Y\\&x&\to &y=f(x)\end{array}}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y}$

Es decir, si para todo ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle Y}$ se cumple que existe un único ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, tal que la función evaluada en ${\displaystyle x}$ es igual a ${\displaystyle y}$.

Dados dos conjuntos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ tienen el mismo numero de elementos.

Ejemplo de Función Biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que ${\displaystyle |X|=|Y|}$.